Und noch einmal "Incredibly challenging"

(Anmerkungen und Ergänzungen zu "Incredibly challenging!?" von Reibnegger/Estelberger in Chem. Sch. 2/96, S. 14-17)

Gerhard Kern

 

Die Methode, stöchiometrische Koeffizienten mit Hilfe von Matrizen aufzufinden, ist insofern interessant, als man sie (häufig) als black box anwenden kann, ohne von Oxidationszahlen überhaupt etwas wissen zu müssen. Aus zwei Gründen möchte ich den besagten Artikel kommentieren,

1. weil der rechnerische Overkill für diese drei Beispiele nicht nötig ist und man mit Hilfe einfacher Gleichungssysteme (was mathematisch gesehen auf dasselbe herauskommt) die genannten Probleme auf Schülerniveau lösen kann (ebenfalls ohne Kenntnisse von Oxidationszahlen) und weil

2. das beklagte Scheitern der Matrizenmethode am zweiten Beispiel ein nur scheinbares ist.

 

Einfache Gleichungssysteme als Lösungsweg

 

Während das Rechnen mit Matrizen nicht in allen Schultypen im Lehrplan für Mathematik aufscheint, kann man Methoden für das Lösen von Gleichungssystemen bei Oberstufenschülern spätestens ab der sechsten Klasse als bekannt voraussetzen. Das Gesetz von der Erhaltung der Masse ist im Chemieunterricht der Unterstufe zumindest genannt worden. Betrachtet man die drei gegebenen Reaktionsgleichungen eingehender, so lassen sie sich ausnahmslos durch Gleichungssysteme in höchstens vier Unbekannten richtigstellen.

 

Reaktion 1

... HIO3 + ... FeI2 + ... HCl ... FeCl3 + ... ICl + ... H2O

Da man die Koeffizienten einer Reaktionsgleichung mit beliebigen Zahlen multiplizieren darf, setzen wir (zB.) den Koeffizienten der Iodsäure willkürlich gleich eins. Da Sauerstoff auf der Eduktseite nur in Iodsäure, auf der Produktseite ausschließlich in Wasser vorkommt, ist der Koeffizient für H2O drei. Weiters müssen die stöchiometrischen Koeffizienten von Eiseniodid und von Eisenchlorid dieselben sein, nehmen wir dafür die Variable a. Wasserstoff kommt auf der rechten Seite nur in Wasser vor und zwar sechsmal. Ein H-Atom finden wir in der Iodsäure, die restlichen fünf müssen daher aus der Salzsäure stammen. Damit wird die Gleichung zu

1 HIO3 + a FeI2 + 5 HCl a FeCl3 + b ICl + 3 H2O

mit den Unbekannten a und b. Vergleicht man nun die Anzahl der Atome ein und desselben Elements auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung, so findet man das einfache Gleichungssystem

I: 1+2a=b

Cl: 5=3a+b

mit den Lösungen a=4/5 und b=13/5.

Um Brüche zu vermeiden, multipliziert man die Gleichung mit fünf und erhält:

5 HIO3 + 4 FeI2 + 25 HCl 4 FeCl3 + 13 ICl + 15 H2O

 

Reaktion 2

... CuSCN + ... KIO3 + ... HCl ... CuSO4 + ... KCl + ... HCN + ... ICl + ... H2O

Wir wenden dieselben Methoden wie vorhin an und finden ein System von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten: Kupferthiocyanat und Kupfersulfat müssen denselben Koeffizienten haben, den wir mit eins festlegen. Stickstoff kommt auf Seite der Produkte nur in Blausäure vor, daher ist deren Koeffizient ebenfalls eins. Weil Kalium links lediglich im Kaliumiodat enthalten ist und rechts nur in Kaliumchlorid, sind die Koeffizienten gleich, sagen wir a:

1 CuSCN + a KIO3 + ... HCl 1 CuSO4 + a KCl + 1 HCN + ... ICl + ... H2O

Das Iod aus dem Iodat findet sich zur Gänze in Iodchlorid wieder, daher muß auch der zugehörige Koeffizient gleich a sein. Schließlich sieht man, daß auf der rechten Seite insgesamt 2a mol Chlor vorhanden sind, weswegen der Koeffizient der Salzsäure 2a sein muß.

1 CuSCN + a KIO3 + 2a HCl 1 CuSO4 + a KCl + 1 HCN + a ICl + b H2O

Durch Vergleichen von Sauerstoff und Wasserstoff auf beiden Seiten findet man

O: 3a=4+b

H: 2a=1+2b

mit a=7/4 und b=5/4 als Lösungen. Die fertige Reaktionsgleichung lautet also:

CuSCN + 7/4 KIO3 + 7/2 HCl CuSO4 + 7/4 KCl + HCN + 7/4 ICl + 5/4 H2O

oder

4 CuSCN + 7 KIO3 + 14 HCl 4 CuSO4 + 7 KCl + 4 HCN + 7 ICl + 5 H2O

 

Reaktion 3

... [Cr[N2H4CO]6]4[Cr(CN)6]3 + ... KMnO4 + ... H2SO4 ... K2Cr2O7 + ... MnSO4 + ... CO2 + ... KNO3 + ... K2SO4 + ... H2O

Den stöchiometrischen Koeffizienten des Komplexes setzen wir willkürlich eins. Damit erhalten wir aber sofort Werte für Kaliumdichromat (7/2), für CO2 (42) und für Kaliumnitrat (66). KMnO4 und Mangansulfat müssen denselben Koeffizienten haben, wir nennen ihn a.

1 [Cr[N2H4CO]6]4[Cr(CN)6]3 + a KMnO4 + b H2SO4 7/2 K2Cr2O7 + a MnSO4 + 42 CO2 + 66 KNO3 + c K2SO4 + d H2O

H: 96+2b=2d

O: 24+4a+4b=49/2+4a+84+198+4c+d

K: a=7+66+2c

S: b=a+c

Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind: a=588/5, b=1399/10, c=223/10 und d=1879/10.

10 [Cr[N2H4CO]6]4[Cr(CN)6]3 + 1176 KMnO4 + 1399 H2SO4 35 K2Cr2O7 + 1176 MnSO4 + 420 CO2 + 660 KNO3 + 223 K2SO4 + 1879 H2O

 

Die beiden ersten Beispiele legte ich Schülern einer siebten Klasse (Realgymnasium mit ergänzendem Unterricht aus Biologie und Umweltkunde, Physik sowie Chemie) vor, mit dem Hinweis, daß man zur Lösung ein Gleichungssystem in zwei Unbekannten braucht. Alle Schüler waren in der Lage, die richtigen Koeffizienten anzugeben. Ein Schüler ("Haben Sie nichts Schwierigeres?") löste auch die letzte Aufgabe, nach eigenen Angaben innerhalb von zwei Stunden.

 

Das (scheinbare) Versagen der Matrizenmethode

 

Man stellt für die Reaktion 2 zunächst die Matrix wie im oben genannten Artikel angegeben auf:

 

 

CuSCN

KIO3

HCl

CuSO4

KCl

HCN

ICl

H2O

Cu

1

0

0

1

0

0

0

0

S

1

0

0

1

0

0

0

0

C

1

0

0

0

0

1

0

0

N

1

0

0

0

0

1

0

0

K

0

1

0

0

1

0

0

0

I

0

1

0

0

0

0

1

0

O

0

3

0

4

0

0

0

1

H

0

0

1

0

0

1

0

2

Cl

0

0

1

0

1

0

1

0

 

Die Zahlen bilden eine Matrix aus 9 Zeilen und 8 Spalten. Eindeutige Inverse existieren aber nur für quadratische Matrizen, und zwar genau dann, wenn die Zeilenvektoren der Matrix linear unabhängig sind (gleiches gilt für die Spaltenvektoren). Betrachtet man das Zahlenschema genauer, so stellt sich heraus, daß die beiden ersten Zeilen identisch sind, ebenso die dritte und die vierte Zeile, und genau daran scheitert die Invertierbarkeit der Matrix. Wir streichen die doppelten Zeilen, also die erste und die dritte und erhalten eine 7x8-Matrix, die wir in gewohnter Weise durch einen Zeilenvektor ergänzen, dessen achte Koordinate eins ist und der sonst lauter Nullen enthält:

 

 

CuSCN

KIO3

HCl

CuSO4

KCl

HCN

ICl

H2O

S

1

0

0

1

0

0

0

0

N

1

0

0

0

0

1

0

0

K

0

1

0

0

1

0

0

0

I

0

1

0

0

0

0

1

0

O

0

3

0

4

0

0

0

1

H

0

0

1

0

0

1

0

2

Cl

0

0

1

0

1

0

1

0

 

0

0

0

0

0

0

0

1

 

Die Inverse dieser Matrix ist:

 

8/5

-3/5

3/5

3/5

-2/5

3/5

-3/5

-4/5

4/5

-4/5

4/5

4/5

-1/5

4/5

-4/5

-7/5

8/5

-8/5

3/5

3/5

-2/5

8/5

-3/5

-14/5

-3/5

3/5

-3/5

-3/5

2/5

-3/5

3/5

4/5

-4/5

4/5

1/5

-4/5

1/5

-4/5

4/5

7/5

-8/5

8/5

-3/5

-3/5

2/5

-3/5

3/5

4/5

-4/5

4/5

-4/5

1/5

1/5

-4/5

4/5

7/5

0

0

0

0

0

0

0

1

 

Die Reaktionsgleichung lautet daher:

4 CuSCN + 7 KIO3 + 14 HCl 4 CuSO4 + 7 KCl + 4 HCN + 7 ICl + 5 H2O

 

Gerhard Kern unterrichtet Chemie am BG/BRG/BORG Eisenstadt, Kurzwiese, A-7000 Eisenstadt, sowie Mathematik und Chemie am Theresianum Eisenstadt, Kalvarienbergplatz 8, A-7000 Eisenstadt.

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