ARGE MAM OOe an HAK
Mathematik & Angewandte Mathematik an Handelsakademien in Oberösterreich

Wolfgang Fischer - WebMAM
p.fischer@asn-linz.ac.at


Die Zenonschen Paradoxien

  1. Zenon von Elea
  2. Achilleus und die Schildkröte
  3. Achilleus
  4. Die Zenonschen Paradoxien
  5. Historisches zu Unendlichen Reihen
  6. Dreistimmige Invention (Douglas R. Hofstadter)
  7. Zweistimmige Invention (Lewis Caroll)
  8. Problemreduktion (Douglas R. Hofstadter)

1. Zenon von Elea

Zenon von Elea lebte um 490-430 v. u. Z. Der griechische Philosoph soll bei einem mißglückten Aufstand gegen einen Tyrannen den Tod gefunden haben. Zenon war Schüler des Parmenides, dessen aufs heftigste angriffene Lehre, derzufolge es keine Bewegtheit und Vielheit der Dinge gäbe, er scharsinnig und spitzfindig zu verteidigen suchte.

Zenon von Elea ist in der Geschichte der Logik durch seine logischen Paradoxien bekannt geworden. Er bediente sich dabei der Methode des indirekten Beweises, indem er zeigte, daß der Versuch, Vielheit, Bewegtheit und Teilbarkeit begrifflich zu fassen, in unlösbare ideelle Widersprüche verstricke. Berühmt wurde der Trugschluß vom Wettlauf zwischen Achilleus und der Schildkröte. Zenon war Begründer der subjektiven und Begriffsdialektik in der antiken Philosophie. Durch seine Aporien (z. B. "Der fliegende Pfeil ruht") wurde das logische Denken wesentlich gefördert. Unter seinem Einfluß strebten die antiken Mathematiker einen bewegungsfreien Aufbau der Geometrie an. Zenon behauptete, das sittlich Gute und das sittlich Böse seien das einzige wahre Gut und Übel. Er läßt aber einen außersittlichen Bereich, einen Unterschied zwischen Dingen, die wir wählen und solchen, die wir meiden zu.

http://www.uni-leipzig.de/~logik/wiedemann/greek/zenon-e.htm

2. Achilleus und die Schildkröte

Paradoxie von Zenon aus Elea, die behauptete: der schnellfüßige Achilleus kann das langsamste Tier, die Schildkröte, niemals einholen, falls diese beim Beginn des Laufes einen Vorsprung s hat, da die Schildkröte, während Achilleus diese Strecke durchläuft, eine weitere Strecke zurücklegt Immer aber wenn Achilleus diese weitere Strecke durchläuft, legt die Schildkröte abermals eine bestimmte (wenn auch kleinere) Strecke zurück. Da dies ohne Ende so weitergeht, kann Achilleus die Schildkröte nicht einholen.

Eine logische Analyse zeigt, daß Zenon, um folgerichtig zu sein, den Weg des Achilleus in immer kürzere Abschnitte einteilt, die unendlich klein werden. In Gedanken kann man das machen, in der Praxis läßt sich das aber nicht realisieren, da der Weg den der Achilleus durchläft eine Teilungsgrenze hat, z. B. ein Molekül oder Atom.

Aristoteles sagt, daß Achilleus die Schildkröte überholen wird, wenn es ihm gelingt, "die Grenze zu überschreiten". Hegel hielt die Antwort des Aristoteles für richtig, "denn in Wirklichkeit wird die Hälfte hier (auf einer gewissen Stufe) ,Grenze'". Zenon vergaß zusätzlich, die Bewegungszeit in unendlich kleine Abschnitte zu teilen. Berücksichtigt man das, ergibt sich für jeden immer kleineren Abschnitt eine immer kleinere Zeit ihn zu durchlaufen.

Im Jahre 1928 schrieb der Mathematiker Weil in seinem Buch "Philosophie in der Mathematik" über die Achilleusparadoxie: Falls man entsprechend der Zenonparadoxie die Strecke der Länge 1 aus einer unendlichen Menge von Strecken der Längen 1/2, 1/4, 1/8 ... bilden könnte, deren jede als Ganzes genommen wird, müßte es auch möglich sein, daß eine Maschine, die in der Lage ist, diese unendlich vielen Strecken in einer endlichen Zeit zu durchlaufen, in einer endlichen Zeit eine unendliche Folge von Entscheidungsakten durchführen kann, indem sie z. B. das erste Ergebnis nach 1/2 Minuten, das zweite 1/4 Minute nach dem ersten, das dritte 1/8 Minute nach dem zweiten usw. liefert. Auf diese Weise wäre es möglich, im Unterschied zum Wesen des Unendlichen, auf rein mechanischem Wege die ganze Reihe der natürlichen Zahlen zu durchlaufen und alle an sie gerichteten Existenzfragen vollständig zu beantworten.

Ajdukiewicz nimmt an, daß Zenon Begriffsunterschiebung begeht, da er den Terminus "Moment" einmal als Punkt, einmal als Zeitintervall interpretiert.

(http://www.uni-leipzig.de/~logik/wiedemann/paradoxa/achilles.htm)

3. Achilleus

Achilleus, lat. Achilles, dt. Achill, war ein griechischer Heros, Sohn des Peleus und der Thetis (daher der "Pelide"), der tapferste griech. Held im Kampf um Troja. Er wurde von seiner Mutter bis auf die Verse unverwundbar gemacht (daherAchillesverse; empfindliche Stelle), der Kentaur Cheiron erzog ihn. Da ihm bestimmt war, vor Troja zu fallen oder ein langes, ruhmloses Leben zu führen, versteckte seine Mutter ihn, als Mädchen verkleidet, bei Lykomedes auf Sykros, wo er dessen Tochter Deidameia heiratete. Sein Sohn war Neoptolemos. Da nach einer Weissagung Troja ohne Achilleus nicht erobert werden konnte, machte ihn Odysseus durch eine List ausfindig. Achilleus zog mit in den Krieg und vollbrachte zahlreiche Heldentaten. Als er im 10. Kriegsjahr von Agamemnon der Sklavin Briseis beraubt wurde, zog er sich voll Zorn vom Kampf zurück; er griff erst wieder ein, um seinen von Hektor getöteten Freund Patroklos zu rächen, und tötete Hektor im Zweikampf. Er fiel durch einen von Apollon gelenkten Pfeil des Paris an der Ferse getroffen. Der Zorn des Achilleus bildet das Leitthema der Illias.

Achilleus genoß als Heros im griechischen Mutterland kultische Verehrung. Er gehörte zu den Lieblingsgestalten der griechischen Künstler, besonders der Versenmaler und Dichter. Sein Aufenthalt bei Lykomedes ist später bes. häufig von Malern dargestellt worden (A. van Dyck, Rubens, Tiepolo, Poussin), in der Oper seine Liebe zu Deidameia; die Literatur estaltete gern Achilleus Beziehungen zu Penthesileia und Polyxene. Achilleus' "glühende Freundschaft zu Patrokles" führtem - wie Sextus Empiricus zu berichten weiß - einige antike Denker auf Männerliebe zurück.

(http://www.uni-leipzig.de/~logik/wiedemann/greek/achill.htm)

4. Die Zenonschen Paradoxien

"Einst begegnete Achilles einer Schildkröte, deren Geist flinker war als ihre Beine. Sie forderte den athletischen Helden zum Wettlauf heraus, und er willigte belustigt ein. Die Schildkröte bat allerdings wegen ihrer sprichwörtlichen Langsamkeit um einen Startvorsprung. Den räumte Achilles ihr großzüig ein, und sie begann eifrig davonzukriechen; er aber ließ sich viel Zeit, schnürte seine Sandalen fester und lief ihr endlich nach. In kürzester Zeit überwand er die Entfernung, die ihn beim Start von derSchildkröte getrennt hatte. Zwar war auch das Tier unterdessen einkleines Stück weitergekommen, doch diesen geringen Abstand legte Achilles noch rascher zurück. Allerdings war die Schildkröte auch in dieser Spanne ein wenig vorangerückt, und während Achilles den neuenVorsprung einholte, war sie wiederum ein kleines Stückchen weiter. Mit einem Wort: Gleichgültig, wie schnell Achilles rannte, immer blieb die Schildkröte vorn -- und so vermochte der berühmte Läufer das schwerfällige Reptil niemals zu überholen."

Diese Fabel von Achilles und der Schildkröte illustriert eine von 3 `Zenonschen Paradoxien'. Zenon (um 490 bis 430 v.Chr.) wollte die philosophischen Ideen seines Lehrmeisters Parmenides verteidigen, der, so schildert es Platon in seinem komplizierten Dialog `Parmenides', der in den Schriften von Platons Schüler Aristoteles überliefert ist, behauptete, "das Seiende (die Wirklichkeit) sei eine ganzheitliche, unveränderliche, einheitliche Wesenheit." Die Welt sei gleichsam lückenlos und aus einem Stück. Insbesondere sei `Bewegung' unmöglich.

Seit ca. 2500 Jahren bieten die Zenonschen Paradoxien Stoff für Debatten und Analysen. Erst heute ermöglicht eine neuartige, kaum 20 Jahre alte Formulierung der Differential- und Integralrechnung die Lösung der Zenonschen Paradoxien -- behaupten jedenfalls William I. McLaughlin und Sylvia L. Miller. Aber zunächst zu den 3 Paradoxien. Oft werden sie nicht korrekt geschildert, d.h. die Argumente von Zenon treten nicht klar genug hervor.

"Die Fabel von Achilles und der Schildkröte illustriert (als erste von 3 Paradoxien) die sogenannte Dichotomie: Jede Entfernung, die ein bewegtes Objekt zurückzulegen hat, läßt sich durch fortgesetztes Halbieren (1/2, 1/4, 1/8 usw.) in unendlich viele Teilabstände zerlegen, wobei immer ein Abstand übrigbleibt, der noch zu überwinden ist. Darum behauptete Zenon, keine Bewegung lasse sich je vollständig ausführen, weil stets noch ein Wegstück fehle, wie klein es auch immer sei. (Es ist wichtig festzuhalten, daß er nicht sagte, unendlich viele Strecken könnten nicht zu einer endlichen Entfernung aufsummiert werden (ein Blick auf die Geometrie einer unendlich fein zerteilten Linie zeigt unmittelbar, ohne spitzfindige Berechnungen, daß eine unendliche Anzahl von Stücken ein endliches Intervall ergibt). Vielmehr zielt Zenons Einwand auf die Schwierigkeit, eine unendliche Anzahl von Einzelaktionen - das Durchqueren immer kleinerer Intervalle - hintereinander vollständig auszuführen.)

Einen zweiten Angriff auf die begrifflichen Grundlagen der Bewegung unternahm Zenon, indem er die erste Beweisführung gewissermaßen andersherum betrachtete. Dieses Paradoxon lautet so: Bevor ein Gegenstand -- etwa ein Pfeil -- die Hälfte seiner Flugbahn zurücklegen kann (das wurde im vorigen Falle immerhin zugestanden), muß er erst ein Viertel des Gesamtweges durchqueren. Wie beim ersten Einwand läßt sich diese Überlegung beliebig oft wiederholen und ergibt eine unendliche Regression -- womit gezeigt wäre, daß eine Bewegung nicht nur nicht vollendet, sondern nicht einmal begonnen werden kann.

Zenons drittes Paradoxon verläuft ganz anders. Es behauptet, schon der Begriff `Bewegung' sei inhaltsleer. Der Denker lädt uns ein, den Pfeil in einem beliebigen Moment während des Fluges zu beobachten. Zu diesem Zeitpunkt erfüllt der Pfeil ein Raumgebiet, das so lang ist, wie er selbst; dabei ist keinerlei Bewegung zu bemerken. Weil diese Beobachtung in jedem Moment wahr ist, kann der Pfeil niemals in Bewegung sein. Dieser Einwand (`Der fliegende Pfeil steht!') hat sich historisch für Zenons Widersacher als der unbequemste erwiesen.

In der Folgezeit erzielten einige Denker durchaus Fortschritte in der Frage, wie sich in der materiellen Welt eine Abfolge unendlich vieler Vorgänge ereignen könne. Ihre Erklärungen waren stets mit der Idee von `Infinitesimalen' (Newtons Ausdruck: `Fluxionen') verflochten -- räumlichen oder zeitlichen Abständen, die den Inbegriff der Kleinheit verkörpern. Doch als man die Existenz dieser kleinen Größen streng zu begründen suchte, tauchten unzählige Schwierigkeiten auf. Schließlich fanden die Mathematiker des 19. Jahrhunderts einen kunstgerechten Ersatz: die Theorie der Grenzwerte. Ihr Sieg war so umfassend, daß einige Mathematiker von der Verbannung der Infinitesimalen sprachen. Aber im Jahre 1966 führte Abraham Robinson die geisterhaften Wesen mit seiner sogenannten `Nichtstandard-Analysis' wieder ein. Seither sind noch mehrere andere Methoden entwickelt worden, die von ihnen Gebrauch machen."

Williams und Miller stießen bei der Untersuchung der Zenonschen Paradoxien darauf, und fanden sie attraktiv, "weil sie eine mikroskopisch scharfe Sicht auf die Details der Bewegung versprachen." Das Werkzeug,von Edward Nelson geschaffen, stand schon bereit: eine Spielart der Nichtstandard-Analysis, die `Interne Mengenlehre' (IST, Internal SetTheory). "Nelsons Methode erzeugt überraschende Deutungen scheinbar vertrauter mathematischer Strukturen. In ihrer Seltsamkeit ähneln die Ergebnisse gewissen Zügen der Quantentheorie [Ist die Zahl auch da, wenn man nicht hinschaut ? ;-)] und der Allgemeinen Relativitätstheorie [Schwarze Zahlen ! ;-)]."

Die IST erweitert nun z.B. _nicht_ (was ansonsten typisch ist) den Zahlenbereich der reellen Zahlen, sondern stellt durch Hinzufügen dreier Axiome zu den rund zehn logischen Grundvoraussetzungen sicher, daß der bereits vorhanden Zahlenbereich Zahlen enthält, die sich zwanglos als Infinitesimale interpretieren lassen. Diese Ergänzung führt das neue Prädikat `Standard' ein und gibt an, wie man herausfindet, welche unsere alten Bekannten im Zahlenbreich Standard sind und welche Nichtstandard. Die Infinitesimalen (sowie einige andere Zahlen) fallen dabei in die Kategorie Nichtstandard. Nelson bezeichnete bei den reellen Zahlen 3 Arten von Zahlen als Nichtstandard: Die infinitesimalen Nichtstandard-Zahlen sind kleiner als jede positive Standard-Zahl, aber größer als Null. Gemischte Nichtstandard-Zahlen entstehen, indem man infinitesimale Beträge zu Standard-Zahlen addiert oder davon subtrahiert. Jede Standard-Zahl ist von solchen gemischten Nichtstandard-Nachbarn umgeben. Unbeschränkte Nichtstandard-Zahlen sind die Kehrwerte von infinitesimalen Nichtstandard-Zahlen. Jede unbeschränkte Zahl ist größer als jede Standard-Zahl, wird aber wie eine endliche Zahl behandelt.

Demzufolge ist eine Infinitesimale größer als Null, aber kleiner als jede noch so kleine Zahl, die man sich hingeschrieben vorstellen kann. "Daß solche Infinitesimale überhaupt existieren, ist nicht unmittelbar offensichtlich; aber die begriffliche Gültigkeit der IST hat sich also ebenso robust erwiesen wie die anderer mathematischer Systeme, denen wir aus guten Gründen vertrauen. Dennoch sind Infinitesimale schwer zu fassen, da zwei konkrete Zahlen (solche die im Prinzip einer Messung zugänglich sind) sich nicht durch einen infinitesimalen Betrag unterscheiden können. Der Beweis durch Widerspruch ist leicht: Die arithmetische Differenz von zwei konkreten Zahlen muß konkret sein ( und somit Standard). Wäre sie nämlich infinitesimal, so würde dies die Definition einer Infinitesimalen als einer Größe, die kleiner ist als jede Standard-Zahl, verletzen. Aus dieser Tatsache folgt, daß beide Endpunkte eines infinitesimalen Intervalls nicht durch konkrete Zahlen bezeichnet werden können. Dadurch läßt sich ein solches Intervall niemals durch ein Meßverfahren einfangen: Infinitesimale bleiben der Beobachtung für immer unzugänglich."

Schön schön, aber was hat das mit den Zenonschen Paradoxien zu tun? "Nach der bisherigen Erörterung ist klar, daß die durch konkrete Zahlen bezeichneten Raum- oder Zeitpunkte nur isolierte Punkte sind. Eine tatsächliche Flugbahn und das zugehörige Zeitintervall sind hingegen dicht mit infinitesimalen Bereichen bepackt. Demnach können wir Zenons drittem Einwand nur insoweit recht geben, als die Pfeilspitze in jedem konkret markierten Zeitpunkt gleichsam stroboskopisch fixiert wird -- doch während des unermeßlich viel größeren Rests der Gesamtspanne findet eine Art Bewegung statt; diese ist gegen Zenons Kritik gefeit, da sie nur innerhalb infinitesimaler Abschnitte auftritt, deren Unbeschreibbarkeit als eine Art Abschirmung (Filter) wirkt. Geschieht die Bewegung innerhalb eines solchen Einzelintervalls etwa als gleichförmiges Vorrücken -- oder als momentaner Sprung von einem Ende zum anderen? Könnte sie eine Folge von Zwischenschritten enthalten oder gar einen Vorgang außerhalb von Raum und Zeit? Die Möglichkeiten sind unbegrenzt, und keine läßt sich bestätigen oder ausschließen, den einen infinitesimalen Abstand vermag niemand zu messen. (Das Verdienst dieses Gedankengangs gebührt Benedetti, Trendelenburg und Whitehead, deren frühe Erkenntnisse jetzt mit den Mitteln der IST formalisiert werden.)

Nun zu den beiden übrigen Paradoxien. In der IST gilt, daß jede unendliche Zahlenmenge eine Nichtstandard-Zahl enthält. Daher muß auch die unendliche Folge von Kontrollpunkten, mit denen Zenon im ersten Paradoxon die Bewegung festhält, eine gemischte Nichtstandard-Zahl enthalten. Wenn Zenons unendliche Zahlenfolge sich immer mehr der Zahl eins nähert, werden die Glieder der Folge schließlich innerhalb einer infinitesimalen Entfernung von eins liegen. Alle nachfolgenden Glieder werden zu der Nichtstandard-Ansammlung um eins gehören, und weder Zenon noch jemand anderer wird imstande sein, die Fortbewegung eines Gegenstandes in diesem unzugänglichen Terrain zu verfolgen. Um Zenons erstes Paradox zu widerlegen, müssenwir nur den erkenntnistheoretischen Grundsatz aufstellen, daß wir nicht für die Erklärung von Vorgängen zuständig sind, die wir nicht beobachten können. Zenons zweite Beweisführung, die zu zeigen sucht, daß ein Gegenstand nicht einmal beginnen könne sich zu bewegen, leidet unter denselben Mängeln."

Die IST liefert (dank eines mächtigen Resultats von IST) dieselben Ergebnisse (für eine Theorie der Bewegung) wie die herkömmliche Differential- und Integralrechnung, ist aber in gewisser Weise anschaulicher -- und vor allem gefeit gegen Zenons Einwände :-). "Ein in IST bewiesener Lehrsatz besagt, daß eine endliche Menge existiert, die sämtliche Standard-Zahlen enthält. Der scheinbar logische Folgesatz, daß es nur eine endliche Anzahl von Standard-Zahlen gebe, gilt aber überraschenderweise nicht."

[Ich verrat' Euch was': Philosophen sind arme Schweine. Was ist schon das Erlernen des rohen Handwerks gegenüber einer wahren Analyse der Begriffe ? ;-)] [Quelle: W.I.McLaughlin]

http://scampi.physik.uni-konstanz.de/~bjoern/klaus/know-all/zeno.html

5. Historisches zu Unendlichen Reihen

Die frühesten Gedanken über das Unendlichgroße und Unedlichkleine haben mit unendlichen Summen, dem Aneinanderfügen in infinitum, also mit dem zu tun, was zum Bereich der unendlichen Reihen gehört. ZENON VON ELEA (ca490-430 v.Chr., griechischer Philosoph, Lieblingsschüler des Parmenides) hat in seinen bekannten Paradoxien des Raumes und der Bewegung als erster die logischen Fallstricke aufgezeigt, die im Bereich des Unendlichkleinen ausgespannt sind. Von ihm nimmt der horror infini, die Angst und Scheu vor dem Unendlichen seinen Ausgang, der die Mathematik bis in die Neuzeit entscheidend beeinflußt hat. Wenn man Endliches und gleich Großes unendlich oft aneinandernfügt, so ergibt sich Unendliches, wenn man aber Dimensionsloses, keine Ausdehnung Besitzendes, unendlich oft aneinanderfügt, ergibt sich nichts. So etwa kann man zwei der Prinzipien ausdrücken, mit denen Zenon arbeitet. Ein Läufer kann eine Strecke nur durchlaufen, wenn er zuvor die Hälfte der Strecke durchlaufen hat, und diese nur, wenn er zuvor die Hälfte der Hälfte durchmißt, usw. So muß er eine unendlich Anzahl von immer kleiner werdenden Strecken durchlaufen, ehe die Bewegung in Gang kommt. Das ist (nach Zenon) unmöglich, und so gibt es keine Bewegung. Heute pflegt man diesen Widerspruch durch den Hinweis aufzuklären, daß eine unendliche Anzahl von endlichen Teilstrecken durchaus eine endliche Gesamtlänge haben kann, was in unserem Fall durch die Gleichung 1/2+1/4+1/8+1/16+...=1 belegt wird. Ähnlich verhält es sich mit der bekanntesten Aporie Zenons, dem Wettlauf zwischen Achill und der Schildkröte. Achill, der sagenumwobene Held des Trojanisches Krieges, kann die dahinkriechende Schildkröte nicht einholen, denn, wie langsam sie auch kriecht, wenn er an ihrem Ausgangspunkt angekommen ist, ist sie schon ein endliches Stückchen weiter, bis Achill dieses Stück durchlaufen hat, ist sie wieder ein Stück weiter, und so fort.

Die hier angesprochenen Probleme des Raumes und der Zeit beschäftigen Naturwissenschaftler und Naturphilosophen bis auf den heutigen Tag.

http://www2.appl-math.tu-muenchen.de/appl-math/Vorlesung/unendlr.htm

6. Dreistimmige Invention

Achilles (ein griechischer Held, der Schnellfüßigste aller Sterblichen) und eine Schildkröte stehen zusammen in greller Sonne auf einer staubigen Piste. Am anderen Ende der Piste weht an einem hohen Mast eine große rechteckige Fahne. Die Fahne ist ganz rot, nur ein ringförmiges Loch, durch das man den Himmel sehen kann, wurde aus ihr herausgeschnitten.

Achilles: Was ist denn das für eine seltsame Fahne am andern Ende der Piste? Irgendwie erinnert sie mich an ein Bild meines Lieblingskünstlers M. C. Escher.

Schildkröte: Das ist Zenos Fahne.

Achilles: Wäre es möglich, daß das Loch den Löchern in einem Möbiusstreifen ähnelt, den Escher einmal gezeichnet hat? Etwas stimmt mit dieser Fahne nicht, das merke ich schon.

Schildkröte: Der ausgeschnittene Ring hat die Form der Ziffer für Null, Zenos Lieblingszahl.

Achilles: Aber die Null ist ja noch gar nicht erfunden worden: Sie wird erst in ein paar Jahrtausenden von einem indischen Mathematiker erfunden werden. Und so, Herr S., beweise ich, daß eine solche Fahne Unmöglich ist.

Schildkröte: Ihre Gedankenführung leuchtet ein, Achilles, und ich muß zugeben, daß eine solche Fahne tatsächlich Unmöglich ist. Aber sie ist trotzdem schön, nicht?

Achilles: Oh ja, an ihrer Schönheit besteht kein Zweifel.

Schildkröte: Ich frage mich, ob ihre Schönheit mit ihrer Unmöglichkeit zusammenhängt. Ich weiß es nicht. Ich habe nie die Zeit gehabt, Schönheit zu analysieren.

Es ist eine Große Essenz, und ich scheine für Große Essenzen nie Zeit zu haben. Achilles: Apropos Essenzen, Herr S., haben Sie jemals über den Zweck des Lebens nachgedacht?

Schildkröte: Um Gottes willen, nein!

Achilles: Haben Sie sich denn niemals Gedanken gemacht, warum wir hier sind und wer uns erfunden hat?

Schildkröte: Oh, das ist etwas ganz anderes. Wir sind Erfindungen Zenos, wie Sie bald merken werden, und wir sind hier, um einen Wettlauf durchzufahren.

Achilles: Ein Wettlauf! Unerhört! Ich, der Schnellfüßigste aller Sterblichen, gegen Sie, den Schwerfälligsten aller Schwerfälligen! Ein solcher Wettlauf ist absolut sinnlos.

Schildkröte: Sie könnten mir einen Vorsprung geben.

Achilles: Der müßte aber groß sein.

Schildkröte: Ich habe nichts dagegen.

Achilles: Aber früher oder später werde ich Sie einholen - wahrscheinlich früher.

Schildkröte: Nicht, wenn die Dinge nach Zenos Paradoxie verlaufen, oh nein. Zeno hofft, anhand unseres Wettrennens zeigen zu können, daß Motion Unmöglich ist. Nach Zeno scheint Bewegung nur im Geiste möglich. Tatsächlich: Motion Ist Immer Illusion. Das beweist er recht elegant.

Achilles: Ach ja, ich erinnere mich nun: der berühmte Zen-Köan über den Zen-Meister Zeno. Wie Sie sagen, es ist sehr einfach.

Schildkröte: Zen-Köan? Zen-Meister? Was meinen Sie?

Achilles: Er lautet wie folgt: Zwei Mönche stritten wegen einer Fahne. Der eine sagte: ,Die Fahne bewegt sich'. Der andere sagte: "Der Wind bewegt sich". Der sechste Patriarch, Zeno, kam gerade des Wegs. Er sagte ihnen: Nicht der Wind, nicht die Fahne, der Geist bewegt sich."

Schildkröte: Ich fürchte, Sie sind etwas durcheinander, Achilles. Zeno ist kein Zen-Meister, alles andere: er ist vielmehr ein griechischer Philosoph aus der Stadt Elea (die in der Mitte zwischen den Punkten A und B liegt). In einigen Jahrhunderten wird er wegen seiner Paradoxien der Bewegung berühmt sein. In einer dieser Paradoxien wird eben dieser Wettlauf zwischen Ihnen und mir eine zentrale Rolle spielen.

Achilles: Ich bin ganz verwirrt. Ich erinnere mich lebhaft daran, wie ich die Namen der sechs Zen-Patriarchen unablässig wiederholte, und ich sagte immer: "Der sechste Patriarch is' Zeno, der sechste Patriarch is' Zeno ..." (Plötzlich erhebt sich ein laues Lüftchen.) Oh, schauen Sie, Herr Schildkröte - wie die Fahne weht! Wie ich das liebe, zuzuschauen, wie das weiche Tuch sich kräuselt. Und auch der herausgeschnittene Ring weht im Winde!

Schildkröte: Unsinn! Die Fahne ist Unmöglich, also kann sie nicht wehen. Der Wind weht. (In diesem Augenblick kommt Zeno des Wegs.)

Zeno: Grüß Gott, äh - Zeus! Was gibt's denn Neu's?

Achilles: Die Fahne bewegt sich.

Schildkröte: Der Wind bewegt sich.

Zeno: Oh, Freunde, Freunde! Laßt ab von Euerm Zank! Keine Schmähwörter! Beendet Euern Hader, denn ich werde das Problem alsbald für Euch lösen. Hol Und an einem so schönen Tag!

Achilles: Der Kerl spielt wohl den Narren.

Schildkröte: Nein, warten Sie, Achilles. Hören wir, was er dazu zu sagen hat. Unbekannter Herr, teilen Sie uns Ihre Gedanken zu dieser Angelegenheit mit!

Zeno: Aber gern. Nicht der Wind, nicht die Fahne - keins von beiden bewegt sich. Überhaupt nichts bewegt sich. Ich habe nämlich einen großen Lehrsatz entdeckt, welcher lautet: "Motion Ist Immer Illusion." Und aus diesem Satz ergibt sich ein noch größerer - Zenos Satz: "Motion Unexistiert."

Achilles: "Zenos Satz'? Sind Sie etwa der Philosoph Zeno aus Elea?

Zeno: In der Tat bin ich's, Achilles.

Achilles (kratzt sich ratlos am Kopf): Woher weiß er denn meinen Namen?

Zeno: Könnte ich die beiden Herrschaften möglicherweise dazu bringen, mich zu Ende anzuhören, warum das der Fall ist? Ich bin heute nachmittag den ganzen Weg von Punkt A bis nach Elea gegangen und habe versucht, jemanden zu finden, der meiner messerscharfen Argumentation einige Aufmerksamkeit schenken würde. Doch die rennen alle hin und her und haben keine Zeit. Sie können sich nicht vorstellen, wie deprimierend es ist, einen Korb nach dem andern zu bekommen. Ach, es tut mir leid, Sie mit meinen Schwierigkeiten zu belästigen. Ich möchte nur eine Frage stellen: Würden die beiden Herrschaften einem alten einfältigen Philosophen für ein paar Augenblicke - nur ein paar, ich verspreche es - entgegenkommen und seine ausgefallenen Theorien mit Geduld ertragen?

Achilles: Aber sicher! Bitte erleuchten Sie uns! Ich weiß, daß ich für uns beide spreche. Mein Gefährte, Herr Schildkröte, sprach eben erst mit großer Verehrung von Ihnen - und er erwähnte insbesondere Ihre Paradoxien.

Zeno: Danke. Sehen Sie, mein Meister, der fünfte Patriarch, lehrte mich, daß die Wirklichkeit eine einzige ist, unbeweglich und unveränderlich. Pluralität, Veränderung und Bewegung sind lediglich Sinnestäuschungen. Einige haben sich über seine Ansichten lustig gemacht, aber ich werde zeigen, wie absurd ihr Spott ist. Mein Gedankengang ist ganz einfach. Ich werde ihn mit zwei Wesen, meiner eigenen Invention, illustrieren: Achilles, einem griechischen Krieger, dem Schnellfüßigsten aller Sterblichen, und einer Schildkröte. In meiner Erzählung lassen sie sich von einem Passanten dazu überreden, einen Wettlauf auf einer Piste auszutragen. Ziel ist eine Fahne, die in der Ferne im Winde weht. Nehmen wir an, daß die Schildkröte der um vieles langsamere Läufer ist und deshalb einen Vorsprung von, sagen wir, zehn Ruten erhält. Der Wettlauf beginnt. In ein paar Sprüngen hat Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte startete. Achilles: Hah!

Zeno: Und die Schildkröte ist nur noch eine einzige Rute vor Achilles. In einem Augenblick hat Achilles diesen Punkt erreicht.

Achilles: Hoho!

Zeno: Aber in diesem kurzen Augenblick ist die Schildkröte ein kleines Stückchen weiter gekommen. In Windeseile legt Achilles auch diese Strecke zurück.

Achilles: Hihihi!

Zeno: Aber in diesem kurzen Augenblick ist es der Schildkröte gelungen, ein winziges Stück vorwärtszukommen, und Achilles liegt noch immer hinten. Nun können Sie erkennen, daß dieses Spiel "Versuch-mich-zu-fangen" eine UNENDLICHE Anzahl von Malen gespielt werden muß, wenn Achilles jemals die Schildkröte einholen soll - und deshalb kann er sie NIEMALs einholen.

Schildkröte: Heh heh heh heh!

Achilles: Hmm ... hmm ... hmm ... hmm ... hmm ... Da scheint etwas nicht zu stimmen. Und doch sehe ich nicht recht, was nicht stimmt.

Zeno: Eine harte Nuß, nicht? Es ist meine Lieblingsparadoxie.

Schildkröte: Verzeihen Sie, Zeno, aber ich glaube, daß Ihre Erzählung das falsche Prinzip illustriert. Sie haben uns soeben das beschrieben, was nach Jahrhunderten als Zenos "Achilles-Paradoxie" bekannt sein wird und zeigt (hm!), daß Achilles die Schildkröte nie einholen wird; aber der Beweis, daß Motion Immer Illusion Ist (daß also Motion Unexiestiert), ist Ihre "Dichotomie-Paradoxie", nicht wahr?

Zeno: Oh, ich Esel. Natürlich haben Sie völlig recht. Das ist diejenige, wie man, wenn man von A nach B geht, zuerst die erste Hälfte der Strecke zurücklegen muß und von der übrigbleibenden Strecke noch einmal die Hälfte usw. usw. Aber Sie sehen ja: beide Paradoxien haben eigentlich das gleiche Flair. Um es offen zu sagen, ich habe bloß eine einzige große Idee gehabt; ich beute sie nur auf verschiedene Arten aus.

Achilles: Ich schwöre, diese Beweisführungen enthalten eine schwache Stelle. Ich kann nicht ganz erkennen, wo, aber sie können nicht korrekt sein.

Zeno: Sie bezweifeln die Gültigkeit meiner Paradoxie? Warum versuchen Sie es nicht? Sehen Sie die rote Fahne da am andern Ende der Piste?

Achilles: Die Unmögliche Fahne, die auf einer Escher-Zeichnung beruht?

Zeno: Genau die. Wie wäre es, wenn Sie mit Herrn Schildkröte einen Wettlauf dorthin machten, wobei Herr S. einen fairen Vorsprung von - nun, ich weiß nicht ...

Schildkröte: Wie wäre es mit zehn Ruten?

Zeno: Gut, zehn Ruten.

Achilles: Jederzeit.

Zeno: Großartig! Wie aufregend! Ein empirischer Test meines rigoros bewiesenen Satzes! Herr S., wollen Sie sich zehn Ruten vor uns hinstellen? (Die Schildkröte geht zehn Ruten näher zur Fahne Sind Sie bereit?

Achilles und Schildkröte: Ja.

Zeno: Auf die Plätze! Fertig? Los!

Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band; ISBN 3-608-93037-X

7. Zweistimmige Invention

oder

Was die Schildkröte zu Achilles sagte

von Lewis Carroll

Achilles hatte die Schildkröte eingeholt und sich gemütlich auf ihrem Rücken niedergelassen.

"So haben wir also das Ende unserer Rennbahn erreicht?", sagte die Schildkröte. "Obgleich sie TATSÄCHLICH aus einer unendlichen Reihe von Abständen besteht? Ich dachte, irgend so ein ganz Schlauer hätte bewiesen, daß es unmöglich sei?"

"Es IST möglich", sagte Achilles. "Man HAT es getan: Solvitur ambulando. Die Abstände werden eben immer KLEINER, und deshalb ...

"Wenn sie aber ständig GROSSER geworden wären?" unterbrach die Schildkröte. "Was dann?"

"Dann wäre ich nicht hier", antwortete Achilles bescheiden, "und SIE wären schon einige Male um die Welt gelaufen!"

"Sie entzücken mich - ich meine, Sie ERDRÜCKEN Mich", sagte die Schildkröte, "denn Sie SIND OHNE ZWEIFEL ein Schwergewicht. Wollen Sie gern etwas über eine Rennbahn erfahren, von der die meisten Menschen glauben, daß man sie in zwei oder drei Schritten durchmessen kann, während sie IN WIRKLICHKEIT aus einer unendlichen Anzahl von Abständen besteht, von denen jeder länger als der vorhergehende ist?"

"Aber sehr gern!" sagte der griechische Held, und er entnahm seinem Helm (nur wenige griechische Helden besaßen zu jener Zeit TASCHEN) ein riesiges Notizbuch und einen Bleistift. Beginnen Sie! Und sprechen Sie bitte LANGSAM. Die STENOGRAPHIE ist noch nicht erfunden worden!"

"Jener schöne erste Satz von Euklid", murmelte die Schildkröte verträumt. "Sie bewundern Euklid?"

"Leidenschaftlich. Zumindest insofern ich eine Abhandlung bewundern KANN, die erst in ein paar Jahrhunderten veröffentlicht werden wird."

"Nun gut. Nehmen wir einen kleinen Teil der Argumentation in diesem ersten Satz. Bitte schreiben Sie sie auf. Und um bequem mit ihnen umgehen zu können nennen wir sie A, B und Z:

A) Sind zwei Dinge einem dritten gleich, so sind sie einander gleich.

B) Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einer weiteren gleich.

Z) Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich.

Wer Euklid gelesen hat, wird wohl zugeben, daß Z logisch aus A und B folgt, so daß jeder, der A und B akzeptiert, Z als wahr akzeptieren muss?"

"Ohne Zweifel. Das kleinste Kind in einem Gymnasium - sobald Gymnasien erfunden worden sind, was erst in etwa zweitausend Jahren der Fall sein wird - wird DAS zugeben."

"Und wenn ein Leser A und B noch NICHT als wahr akzeptiert hat, könnte er die SEQUENZ noch immer als GÜLTIG akzeptieren, nicht wahr?"

"Sicher könnte es einen solchen Leser geben. Er könnte sagen: Ich akzeptiere als wahr den hypothetischen Satz, daß wenn A und B wahr sind, Z auch wahr sein muß, aber ich akzeptiere A und B NICHT als wahr." Ein solcher Leser wäre gut beraten, wenn er Euklid an den Nagel hängte und anfinge, Fußball zu spielen."

"Und könnte es nicht AUCH einen Leser geben, der sagen würde: Ich akzeptiere A und B als wahr, aber ich akzeptiere NICHT die Schlußfolgerung."?"

"Gewiss. Aber auch ER würde besser Fußball spielen."

"Und KEINER dieser Leser", fuhr die Schildkröte fort, steht BISHER unter logischem Zwang, Z als wahr zu akzeptieren?"

"Gewiß", stimmte Achilles bei.

"Also gut. Ich möchte, daß Sie MICH als einen Leser der ZWEITEN Sorte betrachten und mich mit Mitteln der Logik dazu zwingen, Z als wahr zu akzeptieren."

"Eine Fußball spielende Schildkröte wäre ..." begann Achilles.

"... eine Anomalität, natürlich", unterbrach die Schildkröte hastig. "Zur Sache: Zuerst Z und dann Fußball."

"Ich soll Sie also zwingen, Z zu akzeptieren", sagte Achilles nachdenklich. "Und Ihre gegenwärtige Position ist die, daß Sie A und B akzeptieren, NICHT ABER die Schlußfolgerung ..."

"Nennen wir sie C", sagte die Schildkröte.

"... aber Sie akzeptieren NICHT

C) Wenn A und B wahr sind, muß Z wahr sein."

"Das ist meine gegenwärtige Position", sagte die Schildkröte.

"Dann muß ich Sie bitten, C zu akzeptieren."

"Ich werde das tun", sagte die Schildkröte, "sobald Sie es in Ihrem Notizbuch niedergeschrieben haben. Was steht sonst noch drin?"

"Nur ein paar Aufzeichnungen", sagte Achilles und blätterte nervös in dem Buch, "ein paar Aufzeichnungen über die Schlachten, in denen ich mich hervorgetan habe."

Viele unbeschriebene Blätter, wie ich sehe", sagte die Schildkröte fröhlich. "Wir werden sie ALLE brauchen!" (Achilles schaudert) "Nun schreiben Sie auf, was ich Ihnen diktiere:

A) Sind zwei Dinge einem dritten gleich, so sind sie einander gleich.

B) Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einer weiteren gleich.

C) Wenn A und B wahr sind, muß Z wahr sein.

Z) Die zwei Seiten dieses Dreiecks sind einander gleich."

"Sie sollten es D nennen, nicht Z", sagte Achilles. "ES FOLGT unmittelbar den drei andern. Wenn Sie A und B und C akzeptieren, MÜSSEN Sie Z akzeptieren."

"Und warum muß ich das?"

"Weil es LOGISCH daraus folgt. Wenn A und B und C wahr sind, MUSS Z wahr sein. DAS können Sie wohl nicht bestreiten?"

"Wenn A und B und C wahr sind, MUSS Z wahr sein", wiederholte die Schildkröte nachdenklich. "Das ist WIEDER eine Behauptung, nicht wahr? Und wenn ich ihre Wahrheit nicht einsähe, könnte ich A und B und C annehmen, und Z IMMER noch nicht akzeptieren, nicht wahr?"

"Ja gewiß", gab der aufrichtige Held zu, "wenn auch solche Dickköpfigkeit gewiß phänomenal wäre. Immerhin ist es MÖGLICH. Ich muß Sie also bitten, mir EINE weitere Behauptung zu gewähren."

"Schön, ich gewähre sie Ihnen, sobald Sie sie notiert haben. Wir wollen sie D nennen.

D) Wenn A und B und C wahr sind, muß Z wahr sein. Haben Sie das notiert?"

"GEWISS", rief Achilles freudig aus, während er den Bleistift wegsteckte. Endlich sind wir am Ende dieser gedanklichen Rennbahn. Da Sie nun A und B und C und D akzeptiert haben, akzeptieren Sie NATÜRLICH auch Z."

"So?", fragte die Schildkröte unschuldig. "Machen wir uns das ganz klar. Ich akzeptiere A und B und C und D. Und wenn ich mich NOCH IMMER weigere, Z zu akzeptieren?"

"Dann würde die Logik Sie an der Gurgel packen und Sie ZWINGEN, das zu tun", antwortete Achilles triumphierend. Die Logik würde Ihnen sagen: Sie können gar nicht anders. Da Sie A und B und C und D akzeptiert haben, MOSSEN Sie Z akzeptieren!" Sie haben gar keine andere Wahl."

"Was immer die LOGIK mir freundlicherweise sagt, verdient es, AUFGESCHRIEBEN zu werden", sagte die Schildkröte. "Tragen Sie es also bitte in Ihr Buch ein. Wir nennen es:

E) Wenn A und B und C und D wahr sind, muß Z wahr sein.

Bis ich DAS zugegeben habe, brauche ich Z natürlich nicht zuzugeben. Es ist also ein durchaus NOTWENDIGER Schritt, nicht wahr?"

"Ich verstehe", sagte Achilles, und in seiner Stimme lag ein bißchen Traurigkeit.

Hier mußte der Erzähler, der dringende Geschäfte auf der Bank zu erledigen hatte, das glückliche Paar verlassen, und erst nach einigen Wochen kam er wieder an diesen Ort. Achilles saß immer noch auf dem Rücken der geduldigen Schildkröte und schrieb in sein Notizbuch, das fast voll zu sein schien. Die Schildkröte sagte: "Haben Sie diesen letzten Schritt notiert? Wenn ich nicht den Faden verloren habe, macht das eintausendundeins. Es kommen noch einige Millionen dazu. Und WÜRDEN Sie bitte, als persönlichen Gefallen, sich überlegen, wieviel Lehrreiches dieses unser Gespräch den Logikern des 19. Jahrhunderts liefern wird? WÜRDEN Sie bitte einen Kalauer sich zu eigen machen, den meine Base, die Falsche Schildkröte, dann machen wird, und gestatten, daß Sie in "Griech-Tier" umbenannt werden?"

"Wie Sie wollen", antwortete der müde Krieger in den hohlen Tönen der Verzweiflung und vergrub sein Gesicht in seinen Händen. Vorausgesetzt daß SIE IHRERSEITS einen Kalauer akzeptieren, den die Falsche Schildkröte nie gemacht hat, und gestatten, daß Sie von jetzt an die "Schnellzüngigste aller Nervensägen" heißen!"

Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band; ISBN 3-608-93037-X

8. Problemreduktion

Eine Technik, die entwickelt wurde, um globale Ziele in lokale Strategien bei einer Ableitung zu verändern, nennt man Problemreduktion. Es beruht auf der Idee, daß wann immer man ein Fernziel hat, es üblicherweise Nahziele gibt, die, wenn man sie erreicht hat, behilflich sind, das Fernziel zu erreichen. Wenn man deshalb ein gegebenes Problem in eine Reihe neuer Teilprobleme aufbricht, diese dann in Teilteilprobleme aufbricht und so weiter auf rekursive Weise, kommt man schließlich zu ganz bescheidenen Zielen, die vermutlich in einigen wenigen Schritten zu erreichen sind. Oder es sieht zumindest so aus ...

Problemreduktion brachte Zeno in Schwierigkeiten. Man erinnert sich, daß Zenos Methode von A nach B zu gelangen (man betrachte B als Ziel) die ist, das Problem auf zwei Teilprobleme zu reduzieren': zuerst die Hälfte des Weges gehen, dann den Rest des Weges. Nun hat man zwei Teilziele auf den Zielstapel gepusht" (im Sinn von Kapitel V). Jedes wird wiederum durch zwei Teilteilziele ersetzt - und so weiter ad infinitum. Schließlich hat man einen unendlichen Stapel von Zielen anstatt ein einziges Ziel (Abb. 115). Eine unendliche Anzahl von Zielen vom Stapel "wegzupoppen" erweist sich als problematisch - und genau darauf kommt es Zeno natürlich an.

Ein anderes Beispiel unendlicher Rekursion kam in dem Dialog Kleines harmonisches Labyrinth vor, als Achilles' Typ-freier Wunsch erfüllt werden sollte. Die Erfüllung mußte hinausgeschoben werden, bis die Erlaubnis vom Meta-Geist eintraf, aber um die Erlaubnis zu erhalten, die Erlaubnis zu erteilen, mußte er den Meta-Meta-Geist anrufen usw. Trotz der Unendlichkeit des Zielstapels bekam Achilles, was er gewünscht hatte. Problemreduktion hatte gesiegt.

Ungeachtet meines Spottes ist Problemreduktion eine leistungsfähige Technik zur Verwandlung von Global- in Lokalprobleme. In gewissen Situationen glänzt sie, wie etwa beim Endspiel im Schach, wo die Vorausschautechnik oft jämmerlich versagt, selbst wenn man sie bis zur Lächerlichkeit ausdehnt, wie fünfzehn oder mehr Züge. Das rührt daher, daß die Vorausschautechnik nicht auf Plänen beruht; sie hat ganz einfach keine Ziele und untersucht eine riesige Menge sinnloser Alternativen. Wenn man ein Ziel hat, ist man in der Lage, eine Strategie zu dessen Erreichung zu entwerfen, und das ist eine völlig andere Philosophie als die der mechanischen Vorausschau. Bei der Vorausschautechnik wird natürlich die Wünschbarkeit oder ihr Fehlen durch die Bewertungsfunktion der Stellungen beurteilt, und das enthält indirekt eine Anzahl von Zielen, vor allem das, nicht mattgesetzt zu werden. Aber das ist zu indirekt. Gute Schachspieler, die gegen Vorausschau-Schachprogramme antreten, erhalten meistens den Eindruck, daß ihre Gegner in der Formulierung von Plänen oder Strategien sehr schwach sind.

Shandy und der Knochen

Dafür, daß die Methode der Problemreduktion funktioniert, gibt es keine Garantie. In vielen Situationen versagt sie. Man betrachte etwa das folgende einfache Problem: Sie sind ein Hund, und ein befreundeter Mensch hat soeben Ihren Lieblingsknochen über einen Drahtzaun in einen anderen Hof geworfen. Sie können den Knochen durch den Zaun hindurch sehen, wie er dort - und wie verführerisch! - im Grase liegt. Etwa fünfzehn Meter vom Knochen entfernt befindet sich ein offenes Tor im Zaun. Was soll man tun? Einige Hunde rennen einfach zum Zaun, stellen sich vor ihn hin und bellen, andere rennen zum offenen Tor und zurück zu dem verlockenden Knochen. Von beiden Hunden läßt sich sagen, daß sie eine Problemreduktionstechnik angewandt haben; aber das Problem stellt sich in ihrem jeweiligen Geist auf verschiedene Weise dar, und das macht den ganzen Unterschied aus. Der bellende Hund sieht die Teilprobleme als 1) zum Zaun rennen, 2) durch ihn hindurchgelangen, 3) zum Knochen rennen - aber das zweite Teilproblem ist eine harte Nuß, daher das Gebell. Der andere Hund sieht die Teilprobleme als 1) zum Tor laufen, 2) durch das Tor hindurchgehen, 3) zum Knochen rennen. Man beachte, wie alles davon abhängt, wie man den Problemraum' darstellt - das heißt, was man als Reduktion des Problems betrachtet (Bewegung nach vorn auf das Hauptziel zu), und was man als Erweiterung des Problems ansieht (Rückwärtsbewegung weg vom Ziel).

Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach – ein Endloses Geflochtenes Band; ISBN 3-608-93037-X