Gravitationspotential

Satelliten Gravitation
Gesamtenergie  E ist die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie

E = KE + PE ,

Die Gesamtenergie bleibt erhalten.

Wenn die kinetische Energie zunimmt, nimmt die potentielle Energie um  den gleichen Betrag ab und umgekehrt,
Fällt auf der Erde ein Körper mit der Masse m ein kurzes Stück  h so wird seine potentielle Energie  PE =mgh in kinetische Energie KE ungewandelt. Da die Gravitationsbeschleunigung a=GM/r2 wächst, je näher man zur Erdoberfläche kommt, kann man für lange Fallstrecken nicht die einfache Beziehung  PE=mgh ( g=konstant!) verwenden.

Grafik

Conservation of Energy

Potentielle Energie eines Körpers  im Gravitationsfeld

Die potentielle Energie (PE) ist verkehrt proportional zum Abstand des Körpers.

(Herleitung etwas später)
Beachte, dass die potentielle Energie negativ ist. Die potentielle Energie eines Körpers ist Null, wenn der Abstand r zwischen ihm und dem Zentralkörper unendlich groß ist. Nähert er sich dem Zentralkörper, so wird  die potentielle Energie negativ. Das negative Vorzeichen gibt an, dass die potentielle Energie geringer wird, wenn man sich dem Zentralkörper nähert. Die Abnahme der potentiellen Energie ist mit einer Zunahme der kinetischen Energie verbunden
Beispiel:
Da die Sonne viel massiver ist als jeder andere Planet erfährt sie eine sehr sehr geringe Gravitationsbeschleunigung und man kann die Sonne als bewegungslos annehmen.

d.h. wir nehmen an, dass sich die Sonne fix im Punkt Null befindet und der Planet sich in einer Entfernung r von der Sonne aufhält.

Mit jedem Umlauf um die Sonne bewegt sich der Planet zwischen dem Perihel und dem Aphel und potentielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt.

Perihel: maximale kinetische Energie; minimale potentielle Energie
Aphel:   minimale kinetische Energie; maximale potentielle Energie


Elliptische Umlaufbahn e=0,36

Grafik

Die potentielle Energie, die ein Körper pro Einheitsmasse m=1kg im Gravitationsfeld der Masse M hat, nennt man das Potential V.

Java Aplett: Study Potential http://www.schulphysik.de/ntnujava/Kepler/Kepler.html

Frage:: Die Geschwindigkeit ist ja eng mit der kinetischen Energie verbunden. Welche Charakteristik der  Planetenbewegung ist hier beschrieben?

Frage:: Was gilt für die Geschwindigkeit eines Satelliten auf einer Kreisbahn?

Auf welcher Bahn ein Satellit einen Zentralkörper umläuft hängt von der Gesamtenergie E des Satelliten ab.
Man unterscheidet 3 Fälle

1. Fall:  E<0 ( gebundener Zustand; geschlossene Bahnen)
Solange der Satellit an die Erde gebunden ist, ordnet man ihm eine negative Gesamtenergie zu. E=PE+KE<0

Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn (oder elliptisch) um die Erde. Um den Satelliten weiter von der Erde zu entfernen, muss Arbeit am Satelliten verrichtet werden und seine potentielle Energie nimmt zu. Um den Satelliten aus der Bindung an die Erde zu befreien, muss Energie zugeführt werden. Da man den Nullpunkt für die potentielle Energie frei wählen kann, hat man ihn so festgelegt, dass die Gesamtenergie betragsmäßig gleich der kinetischen Energie ist:
Da E<0 und KE>0 folgt für das Vorzeichen: E=-KE
setzt man nun  E=PE+KE ein, erhält man PE + KE=-KE und 
PE=-2KE
PE=-2.mv2/2=-mv2    m... Satellitenmasse; v... Bahngeschwindigkeit des Satelliten
mv2/r =G.M.m/r2            /.(-1) /.r
-mv2= -GM.m/r
PE=-G.M.m/r

2.Fall: E>0 ( Hyperbelbahn; offene Bahnen; e>1; ungebundener  Zustand)
Der Satellit verlässt das Gravitationsfeld des Zentralkörpers z.B. wenn er sehr schnell oder in großer Entfernung  an einem Planeten vorbeifliegt

3. Fall: E=0 (Parabelbahn; Grenzfall; e=1)

KE+PE=0
KE=-PE

2. kosmische Geschwindigkeit v2.

Die kleinstmögliche Abschussgeschwindigkeit bei welcher der Satellit die Erde auf Nimmerwiedersehen verlässt nennt man 2. kosmische Geschwindigkeit v2. Die kinetische Energie die ein Raumschiff benötigt um die Erde zu verlassen beträgt:
Berechnung der 2. kosmischen Geschwindigkeit:
Abhängig von der Erdmasse und von der Abschusshöhe des Satelliten, aber unabhängig von der Masse des Satelliten 

 

  Rechenbeispiel
Für die Erde gilt, wenn ein Satellit von einer Abschussrampe in waagrechter Richtung abgeschossen wird:
Startgeschwindigkeit v Bahnform
0<v<v1 keine Bahn um die Erde
v=v1=7,9km/s Kreis
v1<v<v2 Ellipse
v=v2=11,2km/h Parabel
v>v2 Hyperbel
1. kosmische Geschwindigkeit v1
Zentripetalkraft = Gravitationskraft an der Erdoberfläche 

Java Applet: http://www.schulphysik.de/suren/Kepler/Kepler.html oder Simulationsprogramm "Umlauf.exe" von Herrn Matthias Borchardt, das man unter der Adresse http://home.t-online.de/home/matthias.borchardt/umlauf.htm herunterladen kann.

Sehr anschaulich ist auch die dreidimensionale Darstellung der potentiellen Energie. 
Die potentielle Energie bildet eine 2dimensional Oberfläche, den sogenannten Potentialtopf

Am Boden dieses Topfes befindet sich z.B. die Sonne und die Planeten  bewegen sich, je nach Geschwindigkeit, auf bestimmten  Kurven dieser Oberfläche

Die Abbildung rechts zeigt drei verschiedene Bahnkurven

Gravity Well

:

Grafik

 

Arbeit im Gravitationsfeld:

Beim Heben eines Körpers z.B. im Gravitationsfeld der Erde muss Arbeit gegen die Schwerkraft (Gravitationskraft) verrichtet werden. Bisher haben wir diese Arbeit nach der Formel W=m.g.h unter der Voraussetzung berechnet, dass die Erdbeschleunigung g (Gravitationsfeldstärke) bei geringem Höhenunterschied h konstant ist. Soll aber nun ein Raumschiff in sehr große Entfernungen von der Erdoberfläche gebracht werden, kann man die Gravitationskraft nicht mehr als konstant annehmen.

Um im Gravitationsfeld der Kugelmasse M den Massenpunkt m gegen die Gravitationskraft aus der Entfernung rA in die Entfernung rE zu bringen ist die Arbeit nötig: (Herleitung der Formel: leifiphysik)

Die Hebearbeit, Differenz der potentiellen Energie 
Verbindet man im Feldlinienbild eines Gravitationsfeldes Punkte mit gleichem Gravitationspotential, so erhält man Äquipotentialflächen. Die Äquipotentialflächen stehen senkrecht auf die Feldlinien und bilden konzentrische Kugelschalen um einen Zentralkörper.
2 dimensional

Die Bewegung in einer zu M konzentrischen Kugelschale (=Äquipotentialfläche) erfordert keine Arbeit und bewirkt keine Änderung der potentiellen Energie

Fluchtenergie: Um den Massenpunkt m aus der Entfernung rA in unendlich große Entfernung zu bringen (rE strebt gegen Unendlich und damit 1/rE gegen Null), ist die endliche Arbeit ("Fluchtenergie")

nötig.


Die Geschwindigkeit eines Satelliten in Umlaufbahn hängt nicht ab
a) von seiner Masse
b) von der Erdmasse
c) von seiner Entfernung zur Erdoberfläche.

Beispiel bei Leifi Eisenhowers Frage

Ein Satellit umkreist die Erde. Von welche(n) der folgenden Größen hängt die Geschwindigkeit des Satelliten ab ?
a) von der Masse des Satelliten
b) von der Höhe über der Erdoberfläche
c) Masse der Erde

Quellen:

http://www.physics.emory.edu/Classes/115/lecture_notes/06.motion_gravity_laws/index.html#gravitational%20potential%20energy

Grafiken: (c)1996-2001 Scott R. Anderson http://www.physics.emory.edu/faculty/anderson/
Used with permission.

http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/U_materialien/leifiphysik/web_ph11/umwelt-technik/10_gravfeld/index.htm

E-Mail: BRG Ried i. I - Physikauswahl Aktualisiert am 06.08.2003