Looping

zur Startseite Achterbahn weiter Weiter mit einigen Rechenbeispielen

a) Ganz oben auf einem Hügel
b) Am höchsten Punkt des Loopings
c) Am tiefsten Punkt des Loopings

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

 FG... Gewichtskraft   verursacht durch die Erde, stets vertikal nach unten
n ... Normalkraft FN verursacht durch den Sitz des Wagens, stets rechtwinklig zur Schiene. Die Normalkraft könnte man auch als das scheinbare Gewicht des Fahrers bezeichnen, denn es ist die Kraft, die beschreibt, was der Fahrer fühlt 
g's Spürt der Fahrer z.B. 3g's so ist sein scheinbares Gewicht 3mal so groß als sein tatsächliches Gewicht;
Zentripetalkraft Fres=mv2/r Achtung: Zentripetalkraft ist nur ein anderer Name für die Resultierende bei Kreisbewegungen. Sie setzt sich aus den wirklich am Körper angreifenden Kräften zusammen und ist nicht eine Kraft, die zusätzlich zu diesen wirkt

a) Ganz oben auf einem Hügel

Auf den Fahrer wirken die nach unten gerichtete Gravitationskraft w, d.h. das Gewicht des Fahrers und die nach oben gerichtete Normalkraft n
Im höchsten Punkt der Kuppe muss die Zentripetalkraft vertikal nach unten wirken. Sie entsteht als Resultierende, wenn die Normalkraft kleiner ist als die gegebene Gewichtskraft 
Fres= FG - n = mg - n und Fres = m v² / r 
mg - n = m v² / r
n = mg - m v² / r  

d.h. das scheinbare Gewicht (=Normalkraft) ist kleiner als das tatsächliche Gewicht des Fahrers

Dasselbe gilt für einen Schifahrer auf einer Kuppe

oder für einen Autofahrer
  Rechenbeispiel

Wie schnell kann man nun fahren, ohne dass der Fahrer den Kontakt zum Sitz (Boden) verliert?  
Je größer die Geschwindigkeit ist, desto größer muss die Zentripetalkraft sein, d.h. desto kleiner muss die Normalkraft sein, da ja die Gewichtskraft stets gleich groß ist. So ergibt sich schließlich der Grenzfall, wo die Normalkraft gerade null ist und die Gewichtskraft die  ganze Zentripetalkraft liefert. Die Geschwindigkeit beträgt dann: n = mg - m v² / r = 0

mv ² / r = mg 
 v² / r = g 

"Wird eine Kuppe mit größer Geschwindigkeit befahren, reicht die Gewichtskraft nicht mehr aus, um den Fahrer auf der vom Kuppenradius vorgegeben Kreisbahn zu halten. Es ergäbe sich eine Kreisbahn mit größerem Radius. Der Fahrer wird verliert den Kontakt zum Sitz und beschreibt dann die Flugbahn eines schiefen Wurfes (ohne Sicherheitsgurt)

Beachte: Diese Grenzgeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse des Fahrers


b) Am höchsten Punkt des Loopings 

Nun zeigen sowohl die Normalkraft noben und das Gewicht w in die gleiche Richtung. Die resultierende Kraft ist nun die Summe der beiden Kräfte.

 Fres =  noben + FG =  noben+ mg  und  Fres =  m v²oben / r
 noben + mg = m v²oben / r
noben = m v²oben / r  - mg

Wenn die Geschwindigkeit zu langsam wird, wird die Normalkraft negativ. Das bedeutet, dass der Fahrer (ohne Sicherheitsgurt) aus dem Wagen fällt und der Wagen aus den Schienen. Um das zu verhindern haben Achterbahnwägen Räder auf beiden Seiten. Man kann nun die Achterbahn so konstruieren, dass am höchsten Punkt die Normalkraft gerade Null wird und der Fahrer sich schwerelos fühlt oder man konstruiert eine Bahn, bei der die Normalkraft gleich dem tatsächlichen Gewicht ist.

c) Am tiefsten Punkt des Loopings

 

Nun gilt: 

Fres=nunten - FG = nunten - mg  und  Fres  = m v²unten / r
nunten - mg = m v²unten / r
nunten = mg + m v²unten / r 

Das scheinbare Gewicht des Fahrers ist nun größer als sein tatsächliches Gewicht Der Passagier fühlt sich in den Sessel gedrückt, kann seine Hände kaum bewegen. Wirkt eine Kraft von 8g, (scheinbare Gewicht ist 8mal so groß wie das tatsächliche Gewicht) kann nicht mehr genügend Blut zum Gehirn zirkulieren, und der Passagier kann ohnmächtig werden

Dasselbe gilt für einen Schifahrer der eine Mulde durchfährt.
Je stärker die Mulde gekrümmt ist, desto kleiner ist der Kreisradius r. Bei gleicher Geschwindigkeit ist dann eine größere Zentripetalkraft nötig (m v² / r), d.h. der Boden muss eine größere Normalkraft auf den Skifahrer ausüben, da ja die Gewichtskraft unverändert bleibt. Diese größere Normalkraft spürt der Skifahrer in den Beinen; er wird unter Umständen zusammengestaucht.

Noch eine Erklärung zum Looping

Beispiel: Aus welcher Höhe h muss der Wagen starten, damit er im Looping nicht hinunterfällt? 


Grenzfall: der Wagen fällt im höchsten Punkt gerade nicht herunter, wenn die Normalkraft (noben) 0  ist. (man fühlt sich schwerelos)
noben = m v²oben / R  - mg
m v²oben / R =mg
oben = R.g 
Energiesatz
mgh = mv2oben/2 +mg2.R  /:m
g.h=v2oben/2 +g2.R 
durch Einsetzen von v²oben = R.g erhält man
g.h=Rg/2+g.2R  /:g
h=0,5R+2R

h=2,5.R

Der Wagen muss aus einer Höhe von 2,5.Loopingradius starten (Das Ergebnis entspricht aber noch nicht der Realität. Eine genauere Betrachtung siehe  rollende Kugel

Für unser Zahlenbeispiel gilt: 
a)v²oben = R.g =100
 voben =10m/s 
g.h = 100/2 +20g
h = 50/g +20 = 25 m
b) Welche Geschwindigkeit hat er dann im tiefsten Punkt? mgh =mv2unten/2 
v2unten=2gh =500
vunten = 22,36 m/s
c) Welche Kraft wirkt auf einen Fahrgast (Masse 75 kg)  am tiefsten Punkt des Loopings (nach dem Durchfahren des Loopings natürlich)?
nunten = mg + m v²unten / r  = 75.g +75.500/10 = 4485,75 N

Nun berechnen wir, wie viel g's man spürt:

v ist die Geschwindigkeit des Körpers und r ist der Radius des Kreises. Die Geschwindigkeit des Wagens kann man mit Hilfe des Energiesatzes berechnen. Um die die g’s die der Passagier fühlt zu berechnen dividiert man die Normalkraft auf den Sitz des Passagiers (scheinbare Gewicht ) durch das Gewicht und rechnet es dann in g’s um. Spürt der Fahrer z.B. 3g's so ist sein scheinbares Gewicht 3mal so groß als sein tatsächliches Gewicht.

am höchsten Punkt: 
 noben = m v²oben / r  - mg    /:m.g
g's die man oben fühlt =g'soben -1
am tiefsten Punkt:
nunten = m v²unten /r +m.g       /:m.g
g's die man unten fühlt =g'sunten +1
Sobald ein Fahrer in einen Looping eintritt, müssen die Schienen eine Normalkraft nach oben ausüben um die nötige Zentripetalkraft und Beschleunigung zu liefern, damit der Fahrer sich in einem Kreis bewegt. Befindet sich der Fahrer am tiefsten Punkt eines vertikalen Loopings, muss die Normalkraft nicht nur die Zentripetalkraft liefern, sondern auch die Gewichtskraft aufbringen Daher wird in der Gleichung 1 g addiert. Am höchsten Punkt des Loopings spürt man um ein g weniger, da die Schwerkraft der Normalkraft hilft die Zentripetalkraft aufzubringen.

Roller Coaster G-Forces A GIF Animation

Beispiel

Berechnen wir nun für obiges Beispiel (r = 10m; voben =10m/s; vunten = 22,36 m/s (v2unten =500))
a) Wie viele g’s spürt der Fahrer an der höchsten Stelle des Loopings?
b) Wie viele an der tiefsten Stelle?

a) g's die man oben fühlt =g'soben -1=


b) g's die man unten fühlt =g'sunten +1

An der höchsten Stelle spürt man 0,019 g, a m tiefsten Punkt 6g!

Klothoidenlooping

http://home.t-online.de/home/matthias.borchardt/looping.htm
LOOPING.EXE ist ein Programm für den Physikunterricht in der 11. Klasse. Es simuliert den Geschwindigkeitsverlauf und das Verhalten der Kräfte (Beschleunigungen) während der Fahrt in einer Looping-Bahn. Es können zwei verschiedene Arten von Loopingformen gewählt werden: Kreislooping und Klothoidenlooping. Die zuletzt genannte Loopingart wird auf Jahrmärkten verwendet, weil das Verletzungsrisiko aufgrund der gleichmäßiger verteilten Beschleunigungen für den Menschen geringer ist. Dies wird beim Vergleich der Beschleunigungskurven von Kreis- und Klothoidenlooping deutlich.

Weiter mit einigen Rechenbeispielen Klothoidenlooping  Den Abhang hinab

Quellen:
http://educeth.ethz.ch/physik/leitprog/kreis/

E-Mail: BRG Ried i. I - Physikauswahl Aktualisiert am 06.08.2003