Rollende Kugel im Looping

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©Prof. Dr. Wolfgang Eisenzopf http://www.bg-reithmann.asn-ibk.ac.at/lehr/eisenzopf/eisenzopf.htm

Eine Kugel mit Radius r soll eine schiefe Ebene   hinabrollen und anschließend einen kreisförmigen Looping mit Radius R durchlaufen.
In welcher Höhe muss die Kugel starten, um die Bewegung ohne zu gleiten vollständig durchführen zu können?

 

Bisher wurde diese Aufgabenstellung unter der Annahme reibungsfreien Gleitens diskutiert; die nun zu erörternde rollende Kugel ist weit realistischer.

Die beim früheren Beispiel angestellten Überlegungen zur Lösung des Bewegungsproblems bleiben aber sämtlich aufrecht - es kommen allerdings zwei Ergänzungen hinzu:

Die kinetische Energie der Kugel besteht nicht nur aus dem‚ ´Translationsanteil‘ 1/2mv2, sondern auch aus dem ‚Rotationsanteil‘ 1/2Iw2.

Durch die Forderung, dass die Kugel nie gleiten soll, ist stets die Rollbedingung erfüllt: Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit sind demnach immer durch die Beziehung w = v/r verknüpft.

Zum Startzeitpunkt liegt die gesamte Energie des Systems ›Kugel-Erde‹ in Form der potentiellen Energie aufgrund des Gewichts vor,

,

zum Zeitpunkt des ‚höchsten Punktes‘ im Looping besteht die Gesamtenergie aus potentieller Energie infolge des Gewichtes, aus kinetischer Energie infolge der Translation und aus kinetischer Energie infolge der Rotation,

.

Wir haben bei der Bestimmung der potentiellen Energie berücksichtigt, dass das Gewicht im Massenmittelpunkt der Kugel angreift, der sich in der Höhe 2R - r über dem ‚Boden‘ befindet. Das Trägheitsmoment der Kugel entnehmen wir unserer Tabelle, für die Winkelgeschwindigkeit w setzen wir die Rollbedingung w = v/r ein:

Indem wir - wie beim ‚ersten‘ Beispiel - wieder die Grenzbedingung für die Zentripetalbeschleunigung im ‚höchsten Punkt‘ des Loopings benutzen,

,

können wir für v2 substituieren und den Ausdruck für die Energie im ‚höchsten Punkt‘ des Loopings vereinfachen. (Wir haben berücksichtigt, dass der Radius der Kreisbahn für den Massenmittelpunkt durch R - r gegeben ist.)

.

Aus der Energieerhaltung bekommen wir zuletzt

.

Wenn wir dieses Ergebnis mit dem Resultat unseres früheren Beispiels vergleichen - und den kleinen Term 1,7r vernachlässigen (- was bei einem‚ großen‘ Looping mit R >> r gerechtfertigt ist - ), so sehen wir, dass die Kugel um 0,2R ‚höher‘ starten muss als der gleitende Körper: die potentielle Energie des Systems geht bei einer rollenden Kugel zum Teil in die Rotationsbewegung und steht der Translation auf der Kreisbahn nicht vollständig zur Verfügung.

E-Mail: BRG Ried i. I - Physikauswahl Aktualisiert am 06.08.2003