Geschichtliches: Das Brachistochronen-Problem

Eine der Kurven ist ein Stück einer Geraden, während die zweite so gebogen ist, dass sie zunächst steil nach unten abfällt, schließlich aber flach ausläuft. (siehe linkes Bild ). 

Zwei identische Kugeln werden zur gleichen Zeit bei A losgelassen. 
Welche von beiden ist zuerst in B?

 Johann Bernoulli (1667-1748) stellte 1696 folgende Aufgabe

"Wenn in einer verticalen Ebene zwei Punkte A und B gegeben sind, soll man dem beweglichen Punkte M eine Bahn AMB anweisen, auf welcher er von A ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit nach B gelangt. Um einem voreiligen Urtheile entgegenzutreten, möge noch bemerkt werden, dass die gerade Linie AB zwar die kürzeste zwischen A und B ist, jedoch nicht in kürzester Zeit durchlaufen wird."

J. Bernoulli gab der gesuchten Kurve den Namen Brachistochrone (Linie kürzester Fallzeit; altgriech: brachistos chronos = kürzeste Zeit )

 

Brachistochronen- Problem: 

Welche Form hat die Kurve, entlang der ein Körper (Massenpunkt) vom oberen Punkt zum unteren unter Einfluss der Schwerkraft in der kürzesten Zeit heruntergleitet? (ohne Reibung und Luftwiderstand)

Anders formuliert: Wie muss eine Rutsche (Skaterrollbahn) geformt sein, damit man möglichst schnell von A nach B gelangt?

Neben Johann Bernoulli fanden weitere zeitgenössische Mathematiker wie Newton, Leibniz und L'Hospital eine Lösung. Auch sein Bruder Jakob fand die richtige Lösung, was ihn ziemlich ärgerte, da sich die beiden nicht leiden konnten.

Leonhard Euler entwickelte anhand dieses Problems die Variationsrechnung. Dieses allgemeine Verfahren spielt bis heute eine wichtige Rolle bei der Lösung von Extremal - Aufgaben.

Wahrscheinlich war es Galileo Galilei, der als erster versuchte, das Problem zu lösen. Er hielt allerdings fälschlicherweise einen Kreisbogen für die richtige Lösung. Doch er irrte!

Die Lösung ist ein Zykloidenbogen.

Eine Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden - ohne zu gleiten - abrollt, und dabei ein fester Punkt auf dem Rand des Kreises beobachtet wird.


Bild von Kirstin Meyer 

Beispiel 1:

Finde den Fehler in dieser falschen Aussage:
Die Kugeln haben beim Start A dieselbe potentielle Energie und im Ziel B dieselbe kinetische Energie also auch dieselbe Endgeschwindigkeit. Daher sind sie gleich schnell. Auf beide Kugeln wirkt dieselbe Kraft und Beschleunigung. Deshalb muss die blaue Kugel auf der kürzeren Bahn schneller am Ziel sein. 


Die Tautochronie der Zykloide
E-Mail: BRG Ried i. I - Physikauswahl Aktualisiert am 31.07.2003